Visualização do teorema de Bayes

Existe uma forma de deduzir o Teorema de Bayes usando diagramas de Venn, como o seguinte.

Qual é a probabilidade de A ocorrer num universo U?

P(A) = #A/#U

#A é a cardinalidade do conjunto A, ou seja, o seu número de elementos.
Qual é a probabilidade de B ocorrer num universo U?

P(B) = #B/#U

E qual a probabilidade de A e B?

P(AB) = #AB/#U

Sendo assim, qual a probabilidade de A dado B? (ver figura)

P(A|B) = #AB/#B

Se divirmos ambos pela cardinalidade do universo, temos:

P(A|B) = (#AB/#U) / (#B/#U) = P(AB)/P(B)

Podemos fazer igualmente para B dado A:

P(B|A) = P(BA)/P(A)

Ora como a probabilidade de A e B é igual à probabilidade de B e A, podemos pôr a expressão matemática em função de P(AB) e P(BA), respectivamente, e usar a igualdade para chegar a uma nova fórmula:

P(AB) = P(A|B) * P(B)
P(BA) = P(B|A) * P(A)

Como P(AB) = P(BA):

P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

Colocando a expressão em função de P(A|B), chegamos à formulação usual do teorema de Bayes, que é um resultado muito interessante para o estudo das Probabilidades e Estatística:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Quem disse que é preciso decorar a fórmula? ;)

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Referência: http://oscarbonilla.com/2009/05/visualizing-bayes-theorem/

Privacidade nas redes sociais

Para começar, é preciso afirmar claramente o seguinte:

Tudo o que é escrito na Internet está fora do nosso controlo. Para sempre!

Isto inclui todos os emails que se enviam, tudo o que se pesquisa no Google, tudo o que se afixa no Facebook, etc, etc.

Mesmo que se usem as definições de privacidade, ou mesmo se se controlar o servidor onde a informação é guardada (o que normalmente não acontece), alguém que leia os nossos dados pode copiá-los e divulgá-los, sem o nosso conhecimento ou consentimento.

No entanto, existem benefícios em ter uma presença na Web. Podemos dar a conhecer mais de nós mesmos e do nosso trabalho aos outros. Apenas é importante ter a noção clara de que é uma presença pública. Portanto, não diga nada que não diria num local público em que toda a gente pudesse ouvir, por exemplo, num café, numa praça ou mesmo na televisão!

Até um dia destes, numa das muitas "praças" da Internet ;)

Post original em inglês

Afundem o Bismarck

"Afundem o Bismarck" de C.S. Forester

Esta é a história dos mais desesperados riscos, do patriotismo mais exacerbado e das mais altas capacidades profissionais, de um jogo pela dominação do mundo em que as vidas humanas eram peões no pano verde da mesa do oceano. Houve uma perseguição sem precedentes na história das marinhas, travaram-se batalhas em que os vencidos se cobriram de tanta glória como os vencedores e em que o pior dos azares foi contrabalançado pela melhor das sortes. Seis dias durou tal perseguição, dias de tempestade desenfreada, de mar cinzento encapelado e nuvens baixas, sem um único raio de sol para iluminar o placo da tragédia. Os actores da tragédia desempenharam os seus papéis no mar com um acompanhamento de uivos do vento, de ondas alterosas, de espuma e de frio glacial.

E tudo isto aconteceu sobre um pano de fundo de acontecimentos de importância vital na história do mundo, quando a Inglaterra se encontrou sozinha, quase cercada por inimigos de um poder e de uma maldade inacreditáveis. Não tinha amigos, e apesar disso era destemida, alerta e vigilante...

Aproveitar a crise

Faço minhas as palavras da Aura Miguel. Bom ano a todos!

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Aproveitar a crise
Aura Miguel, RR 31-12-2010

Sabem qual é o nosso problema? É que não gostamos de sacrifícios. Achamos que a vida só é boa quando não há contrariedades, quando nos distraímos, quando rimos com os amigos ou fazemos aquilo que nos apetece. Mas que grande ilusão!...

Bem sabemos que não é assim, que não existe esperança, nem beleza, nem bondade, nem justiça, nem amor, nem relações verdadeiras sem sacrifício.
Assim, a terminar este ano, desejo, a todos, um óptimo 2011 sem ilusões. Um ano cheio de vida verdadeira, leal, fecunda, sincera. E, portanto, com sacrifícios. Por isso, provavelmente, a crise vai fazer-nos bem, porque terá o mérito de nos reconduzir às coisas verdadeiramente importantes da vida.
Se assim for, podemos vir a ser melhores pessoas e, até mesmo, finalmente, vir a mudar Portugal.

Alunos portugueses com dificuldades em exercícios não básicos

Estudo do Ministério da Educação em 1700 escolas revela a dificuldade dos alunos em resolver exercícios que não sejam básicos

por Kátia Catulo , Publicado em 31 de Dezembro de 2010, jornal I.

Estruturar um texto encadeado, explicar um raciocínio com lógica, utilizar uma linguagem rigorosa ou articular diferentes conceitos da mesma disciplina são incapacidades que percorrem os alunos do 8.o ao 12.o ano de escolaridade, seja na Matemática, seja na Língua Portuguesa ou na Biologia. Mais que dominar a matéria, a grande dificuldade dos estudantes das escolas básicas e secundárias é expressar por escrito as suas ideias e os conhecimentos que adquiriram nas aulas. Esta é a principal conclusão do Relatório 2010 do Gabinete de Avaliação Educacional (Gave).

Poucas semanas depois de o estudo do PISA revelar que Portugal é o país da OCDE que mais progrediu na educação, chega agora o relatório do Gave que vem demonstrar que os alunos portugueses afinal estão ainda longe de conseguir desempenhar tarefas tão simples como, por exemplo, interpretar um texto poético, solucionar um exercício matemático com mais de duas etapas ou enfrentar um enunciado que não seja simples e curto.

A equipa do Ministério da Educação avaliou os conhecimentos dos alunos em 500 escolas secundárias e em 1200 estabelecimentos com o 3.o ciclo do ensino básico. Os testes intercalares do Gave, que começaram no ano lectivo de 2005/06, foram aplicados às disciplinas de Matemática e de Língua Portuguesa (no ensino básico) e ainda às cadeiras de Matemática A, Física e Química A e Biologia e Geologia do ensino secundário.

Nas disciplinas que envolveram contas (Matemática e Física/Química), os adolescentes só conseguiram completar correctamente os exercícios quando o desafio passou por resolver "cálculos elementares". O bom desempenho, aliás, está "fortemente associado" aos enunciados curtos e aos textos simples, conclui o relatório que o i consultou.

Na disciplina de Língua Portuguesa do 9.o ano, as maiores dificuldades estão em utilizar a língua de forma correcta. As lacunas são de ordem gramatical, mas também de construção de frases e textos que tenham lógica e coerência. A resolução de problemas na Matemática do 3.o ciclo é o ponto fraco dos alunos, mas as derrapagens também aconteceram quando foi preciso construir respostas com várias etapas de resolução. Definir estratégias para encontrar a solução de um determinado exercício matemático são dificuldades que se acentuam sempre que os enunciados são mais longos, avisam os técnicos do Ministério da Educação.

Secundário. Escrever textos explicativos em que é necessário descrever raciocínios e explicar as estratégias adoptadas para justificar as respostas é uma das grandes deficiências que os especialistas do Gave encontraram em todas as disciplinas avaliadas no secundário. A falta de rigor científico e a linguagem desadequada foram falhas detectadas por todas as equipas que monitorizaram e avaliaram o desempenho dos alunos. Sempre que foi preciso seleccionar a informação e construir um texto que traduzisse um conjunto de ideias próprias, os alunos revelaram "grandes dificuldades".

Na Matemática A do secundário, as fraquezas dos alunos tornaram-se mais evidentes quando tiveram de usar conceitos e estratégias menos treinados nas salas de aula ou então quando foram desafiados a interligar conceitos ou enfrentar enunciados longos. "Não deixam também de ser significativas as dificuldades detectadas nos problemas que envolvem maior número de cálculos e apresentação de raciocínios demonstrativos", alertam os especialistas no relatório de 2010.

Conseguir articular a informação fornecida nas provas e os conhecimentos necessários para responder a determinadas questões é igualmente uma tarefa a que poucos alunos conseguiram corresponder com êxito nos testes intermédios de Biologia e Geologia do 10.o e 11.o anos de escolaridade.

Nas disciplinas de Física e Química A, o desempenho dos alunos decresceu sempre que se exigiu uma avaliação crítica das informações contidas nas provas. Articular várias competências ou fazer cálculos que envolvam duas ou mais etapas são outras fragilidades dos alunos portugueses.

A simplicidade do Natal

por Pe. Rodrigo Lynce de Faria

«Nasceu-vos hoje na cidade de David um Salvador, que é o Cristo Senhor. Isto vos servirá de sinal: encontrareis um Menino envolto em panos e deitado numa manjedoura» (Lc 2, 11-12). Com estas singelas palavras, o Anjo comunica aos pastores o sublime acontecimento da Noite de Natal.

Deus acaba de nascer. Vem ao mundo — criado por Ele — e vem para nos salvar. Não vem simplesmente para nos fazer uma visita de cortesia. Isso já seria muito! No entanto, para Deus, isso seria muito pouco. Veio para habitar entre nós. Veio revelar-nos o Seu infinito Amor. Veio para morrer na Cruz e abrir-nos assim as portas do Céu. É que cada um de nós vale muito: sejamos grandes ou pequenos, fortes ou frágeis, nascidos ou ainda por nascer.

E qual foi o sinal escolhido por Deus para nos indicar que já chegou? Um maravilhoso palácio repleto de riquezas e múltiplos confortos? Não, esse não foi o sinal anunciado pelo Anjo aos pastores. O sinal escolhido por Deus, por insólito que pareça, é um Menino envolto em panos e deitado numa manjedoura, porque não havia para ele lugar na pousada.

«O sinal de Deus é a simplicidade» — disse Bento XVI numa Noite de Natal. Sem simplicidade, não conseguimos “sintonizar” com o mistério do Natal. É necessário parar, fomentar o silêncio interior — quanto barulho e ruído à nossa volta! — e contemplar o presépio com simplicidade. Com a simplicidade de uma criança apercebemo-nos de que tudo no Natal é maravilhoso e encantador.

Como Deus é grande! E — ao mesmo tempo e sem nenhuma contradição — como Deus é simples! Porque é que, tantas vezes, complicamos a nossa vida e a dos outros? Porque é que, tantas vezes, procuramos o êxito a todo o custo em assuntos secundários — passageiros e efémeros — e nos esquecemos do principal? Porque é que, tantas vezes, trocamos a luz do Amor que vem do presépio — a luz de que mais necessitamos para viver — pelo brilho fugaz do nosso orgulho e do nosso egoísmo?

Lá está: falta-nos simplicidade! Simplicidade para chamar ‘ao pão, pão e ao queijo, queijo’. Simplicidade para não esquecer que a nossa vida vale muito mais do que o ouro — ela vale uma eternidade! Simplicidade para perguntarmo-nos: se a minha vida não servir para corresponder ao Amor de Deus por mim vai servir para quê? Para ir andando? Andando para onde?

Conta-nos São Lucas que os pastores regressaram para suas casas glorificando e louvando a Deus — cheios de alegria — simplesmente por terem visto o sinal. Mas atenção: eles não viram nenhum milagre! Viram “somente” um Menino envolto em panos e deitado numa manjedoura. Mas viram-no — claro está — com simplicidade de coração. Oxalá não nos falte essa simplicidade ao contemplar o presépio na Noite de Natal! Assim, tal como os pastores, receberemos de Deus uma alegria profunda e genuína que tudo o que é passageiro não nos pode dar.

Já fizemos tudo com o Natal. Vamos voltar ao princípio.

por Madalena Fontoura

Parece que já está tudo dito sobre o Natal. Mesmo do ponto de vista do consumismo instalado, é como se existisse um cansaço em relação aos elementos tradicionalmente alusivos ao Natal e houvesse uma espécie de febre de inovar e reinventar. Cansa também a solidariedade, porque esta desobriga filantrópica de dar dinheiro para uma campanha e ´já está!’ não preenche o coração. Até o tema da festa de família é difícil de sustentar, porque as fracturas e tentativas de reconstrução que ferem hoje tantas famílias fazem muitas vezes dos festejos de Natal um momento de convivência forçada de estranhos ou ocasião de novas e dramáticas solidões. Em resumo, esvaziámos o Natal da sua origem e razão de ser e sobra um esbracejar atordoado de festas e comezainas e um amontoar doentio e enjoativo de coisas dadas e recebidas que geram mais tédio do que alegria.

Já fizemos tudo com o Natal. Vamos voltar ao princípio. “Como pode um homem nascer sendo velho?” perguntava o velho Nicodemos a Jesus. Poderemos nós, velhos e gastos por tudo o que já vimos e julgamos saber, voltar a ser como crianças diante de uma novidade? É o desafio deste texto. Proponho revisitar o Natal, que se aproxima, a partir da Fé, da Esperança e da Caridade.

Fé

"Um homem culto, um europeu dos nossos dias, pode acreditar, crer de verdade, na divindade do Filho de Deus, Jesus Cristo?" Esta pergunta retirada da obra de Dostoievski “Os Irmãos Karamazov” é a pergunta deste Advento. Não se trata de saber se somos capazes de entrar numa igreja vazia e ter a impressão de sossegar o coração naquele silêncio; se no fundo não temos objecção intelectual à ideia de que exista um ser superior ou se nos sentimos fiéis aos valores católicos porque tentamos ser boas pessoas.

O que está em causa é este Nazareno chamado Jesus, conhecido como filho do carpinteiro. O que está em causa é Ele, pequenino e frágil, a berrar, a mamar, a bolçar, a sujar os paninhos que lhe serviam de fraldas, como todas as crianças. O que está em causa é Ele, durante 30 anos silenciosos de trabalho braçal, unhas pretas, calos e cortes nos dedos, músculos doridos, muitas cadeiras, muitos bancos, muitas mesas, muitas arcas, muito serrar, lixar, aplainar. O que está em causa é o que Ele, ao fim desses 30 anos, disse de Si próprio. Disse aos amigos, mas também àqueles que curou e converteu; disse durante os três anos de arrasadora popularidade, mas também nas 12 horas da Sua Paixão; disse antes de morrer e depois de ressuscitar; disse de viva voz, mas continuou a dizer ao longo de 2000 anos pela palavra e pela vida entregue dos Seus na Igreja que Ele fundou. O que está em causa é que este Homem tenha a ousadia de Se dizer Deus e que isso implique uma tomada de posição por parte de todos aqueles que d’Ele se aproximam.

Jesus é verdade mesmo. Não é um filme, de que retemos só a parte de que mais gostamos. Não é uma ideologia, a que aderimos parcialmente. É um Homem em Quem nos embatemos. Um encontro humano é sempre o acontecimento de duas liberdades, uma diante da outra. Jesus de Nazaré diz que é Deus e oferece uma relação fiel e totalizante para a vida e para a morte. Mais concretamente ainda, apresenta-Se como resposta para a nossa procura de felicidade. Mostra saber como é o nosso coração e poder preenchê-lo. Dá tudo e pede de nós uma dádiva também total, porque é nessa confiança incondicional, nesse abandono, que está o segredo da vida feliz e realizada. Neste Advento, o desafio da Fé é este. Diante do Presépio, na Missa do Galo, em qualquer momento onde o Nome de Jesus se cruze com a nossa azáfama, saberemos que não é sério reduzir ou disfarçar. O Menino Jesus é a proposta mais radical que já nos foi feita na vida. Cabe a cada um de nós a decisão de aderir.

Esperança

A Igreja educa-nos na espera. E isso é precioso, porque já quase não há mais quem nos ajude a viver a espera. Aliás, são cada vez menos as coisas na vida que implicam uma espera. Os transportes são bons e rápidos e por isso já não se caminha durante horas ou dias para chegar ao destino. A comida é congelada e aquece-se no micro-ondas, por isso já quase ninguém cozinha durante horas num forno de lenha. As televisões têm dezenas de canais e comandos à distância, por isso já não se espera por um programa nem pelo fim da publicidade, é só carregar num botão e outra coisa nos diverte. E o crédito é fácil, mesmo com a crise, por isso cada vez menos se espera até juntar dinheiro para um bem desejado, compra-se já e vai-se pagando depois. Quase tudo é imediato. E isso ajudou a tornar-nos mimados e impacientes, e, nas relações, egoístas e prepotentes. O outro é descartável: ou me satisfaz agora ou é uma decepção, o que me dá direito a seduzi-lo sem olhar a meios ou a desistir dele. Também na religião somos imediatistas, só queremos o que nos conforta agora e é cada vez mais remota para nós a certeza de um bem ausente.

A Igreja educa-nos na espera. Porque nos lembra, em tudo o que é e faz, que a realidade que tocamos agora é um sinal e uma promessa. Sinal e promessa de um bem pleno que a nossa natureza pressente e persegue, sem alcançar totalmente. E a Igreja diz mais: que desfrutamos melhor das coisas presentes se não pusermos nelas toda a nossa esperança, mas sim se as encararmos como princípio e antecipação imperfeita dessa felicidade total que desejamos e nos espera. Porque assim tratamo-las segundo o que são e não nos exasperamos por não nos darem o que não podem dar-nos. E isso é ainda mais verdade com as pessoas. A misericórdia e o perdão vêm juntos com a esperança. Perdoamos não porque temos poder de encaixe mas porque sabemos que também o outro é uma promessa e está a caminho com passos imperfeitos. Suportamos a decepção não porque somos estóicos, mas porque o melhor está para vir. E escolhemos Jesus, mesmo quando a porta é estreita e o caminho doloroso, porque não há pior negócio do que trocar o que dura pelo que passa, o Eterno pelo instante.

O Advento é o tempo da espera. E o valor de cada dia está na certeza do tesouro imenso que vem aí. Cada gesto de agora, cada palavra, cada escolha tem peso e gravidade, porque é parte da eternidade que é o nosso horizonte. O Advento ajuda-nos a perceber que os nossos dias são como uma gravidez. Estamos “de esperanças” de uma Presença que dá sentido a tudo.

Caridade

Depois da primeira encíclica do Papa Bento XVI, é mais atrevido desprezar ou aligeirar a palavra ‘caridade’. Somos filhos de uma cultura que ridicularizou a caridade, porque reduziu o amor a uma medida rasteira e auto-suficiente de capacidade de bem-fazer. Mas a caridade, horizonte amplo de todo o amor, parte de uma certeza sem reservas do outro como um dom, de uma decisão de querer o seu bem e de um juízo claro sobre o que é esse bem.

A certeza do outro como um dom é iluminada pela fé. Se o outro é filho de Deus e, por isso, meu irmão, não posso ter sossego nem alegria completa se lhe falta o essencial. O meu bem é indissociável do bem do meu irmão, porque ele é meu e eu sou seu, não posso arrancá-lo de mim, não posso ignorar ou fazer de conta.

Mas o próximo passo, o da decisão, não está incluído no primeiro. Esse é um engano comum de quem não se apercebe com realismo do que é o drama da liberdade humana. Também a fé ilumina esta questão. Sabemos que fomos criados inteligentes e livres, à imagem de Deus. E sabemos também que a nossa natureza ficou indelevelmente ferida pelo pecado original. Isso quer dizer que, como diz tão claramente S. Paulo, “não é o bem que eu quero que faço, mas o mal que eu não quero, isso é que pratico”. A caridade é também uma decisão de me mover pelo bem do outro, vencendo resistências e objecções, egoísmos e preguiças. Por fim, o juízo sobre o que é o bem. Em tempos de um relativismo imperante, importa assegurar onde é que radica a nossa certeza. De olhos postos em Jesus, somos defendidos da tentação da subjectividade e chamaremos bem ao que é bem.

Assim, a caridade a que o Advento nos chama é esta purificação do amor. E talvez este ano demos o passo de uma desobriga vaga e sem rosto para um gesto pessoal que permita que nos faça bem o bem que fazemos.