Visualização do teorema de Bayes

Existe uma forma de deduzir o Teorema de Bayes usando diagramas de Venn, como o seguinte.

Qual é a probabilidade de A ocorrer num universo U?

P(A) = #A/#U

#A é a cardinalidade do conjunto A, ou seja, o seu número de elementos.
Qual é a probabilidade de B ocorrer num universo U?

P(B) = #B/#U

E qual a probabilidade de A e B?

P(AB) = #AB/#U

Sendo assim, qual a probabilidade de A dado B? (ver figura)

P(A|B) = #AB/#B

Se divirmos ambos pela cardinalidade do universo, temos:

P(A|B) = (#AB/#U) / (#B/#U) = P(AB)/P(B)

Podemos fazer igualmente para B dado A:

P(B|A) = P(BA)/P(A)

Ora como a probabilidade de A e B é igual à probabilidade de B e A, podemos pôr a expressão matemática em função de P(AB) e P(BA), respectivamente, e usar a igualdade para chegar a uma nova fórmula:

P(AB) = P(A|B) * P(B)
P(BA) = P(B|A) * P(A)

Como P(AB) = P(BA):

P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

Colocando a expressão em função de P(A|B), chegamos à formulação usual do teorema de Bayes, que é um resultado muito interessante para o estudo das Probabilidades e Estatística:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Quem disse que é preciso decorar a fórmula? ;)

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Referência: http://oscarbonilla.com/2009/05/visualizing-bayes-theorem/

Privacidade nas redes sociais

Para começar, é preciso afirmar claramente o seguinte:

Tudo o que é escrito na Internet está fora do nosso controlo. Para sempre!

Isto inclui todos os emails que se enviam, tudo o que se pesquisa no Google, tudo o que se afixa no Facebook, etc, etc.

Mesmo que se usem as definições de privacidade, ou mesmo se se controlar o servidor onde a informação é guardada (o que normalmente não acontece), alguém que leia os nossos dados pode copiá-los e divulgá-los, sem o nosso conhecimento ou consentimento.

No entanto, existem benefícios em ter uma presença na Web. Podemos dar a conhecer mais de nós mesmos e do nosso trabalho aos outros. Apenas é importante ter a noção clara de que é uma presença pública. Portanto, não diga nada que não diria num local público em que toda a gente pudesse ouvir, por exemplo, num café, numa praça ou mesmo na televisão!

Até um dia destes, numa das muitas "praças" da Internet ;)

Post original em inglês

Afundem o Bismarck

"Afundem o Bismarck" de C.S. Forester

Esta é a história dos mais desesperados riscos, do patriotismo mais exacerbado e das mais altas capacidades profissionais, de um jogo pela dominação do mundo em que as vidas humanas eram peões no pano verde da mesa do oceano. Houve uma perseguição sem precedentes na história das marinhas, travaram-se batalhas em que os vencidos se cobriram de tanta glória como os vencedores e em que o pior dos azares foi contrabalançado pela melhor das sortes. Seis dias durou tal perseguição, dias de tempestade desenfreada, de mar cinzento encapelado e nuvens baixas, sem um único raio de sol para iluminar o placo da tragédia. Os actores da tragédia desempenharam os seus papéis no mar com um acompanhamento de uivos do vento, de ondas alterosas, de espuma e de frio glacial.

E tudo isto aconteceu sobre um pano de fundo de acontecimentos de importância vital na história do mundo, quando a Inglaterra se encontrou sozinha, quase cercada por inimigos de um poder e de uma maldade inacreditáveis. Não tinha amigos, e apesar disso era destemida, alerta e vigilante...

Aproveitar a crise

Faço minhas as palavras da Aura Miguel. Bom ano a todos!

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Aproveitar a crise
Aura Miguel, RR 31-12-2010

Sabem qual é o nosso problema? É que não gostamos de sacrifícios. Achamos que a vida só é boa quando não há contrariedades, quando nos distraímos, quando rimos com os amigos ou fazemos aquilo que nos apetece. Mas que grande ilusão!...

Bem sabemos que não é assim, que não existe esperança, nem beleza, nem bondade, nem justiça, nem amor, nem relações verdadeiras sem sacrifício.
Assim, a terminar este ano, desejo, a todos, um óptimo 2011 sem ilusões. Um ano cheio de vida verdadeira, leal, fecunda, sincera. E, portanto, com sacrifícios. Por isso, provavelmente, a crise vai fazer-nos bem, porque terá o mérito de nos reconduzir às coisas verdadeiramente importantes da vida.
Se assim for, podemos vir a ser melhores pessoas e, até mesmo, finalmente, vir a mudar Portugal.

Alunos portugueses com dificuldades em exercícios não básicos

Estudo do Ministério da Educação em 1700 escolas revela a dificuldade dos alunos em resolver exercícios que não sejam básicos

por Kátia Catulo , Publicado em 31 de Dezembro de 2010, jornal I.

Estruturar um texto encadeado, explicar um raciocínio com lógica, utilizar uma linguagem rigorosa ou articular diferentes conceitos da mesma disciplina são incapacidades que percorrem os alunos do 8.o ao 12.o ano de escolaridade, seja na Matemática, seja na Língua Portuguesa ou na Biologia. Mais que dominar a matéria, a grande dificuldade dos estudantes das escolas básicas e secundárias é expressar por escrito as suas ideias e os conhecimentos que adquiriram nas aulas. Esta é a principal conclusão do Relatório 2010 do Gabinete de Avaliação Educacional (Gave).

Poucas semanas depois de o estudo do PISA revelar que Portugal é o país da OCDE que mais progrediu na educação, chega agora o relatório do Gave que vem demonstrar que os alunos portugueses afinal estão ainda longe de conseguir desempenhar tarefas tão simples como, por exemplo, interpretar um texto poético, solucionar um exercício matemático com mais de duas etapas ou enfrentar um enunciado que não seja simples e curto.

A equipa do Ministério da Educação avaliou os conhecimentos dos alunos em 500 escolas secundárias e em 1200 estabelecimentos com o 3.o ciclo do ensino básico. Os testes intercalares do Gave, que começaram no ano lectivo de 2005/06, foram aplicados às disciplinas de Matemática e de Língua Portuguesa (no ensino básico) e ainda às cadeiras de Matemática A, Física e Química A e Biologia e Geologia do ensino secundário.

Nas disciplinas que envolveram contas (Matemática e Física/Química), os adolescentes só conseguiram completar correctamente os exercícios quando o desafio passou por resolver "cálculos elementares". O bom desempenho, aliás, está "fortemente associado" aos enunciados curtos e aos textos simples, conclui o relatório que o i consultou.

Na disciplina de Língua Portuguesa do 9.o ano, as maiores dificuldades estão em utilizar a língua de forma correcta. As lacunas são de ordem gramatical, mas também de construção de frases e textos que tenham lógica e coerência. A resolução de problemas na Matemática do 3.o ciclo é o ponto fraco dos alunos, mas as derrapagens também aconteceram quando foi preciso construir respostas com várias etapas de resolução. Definir estratégias para encontrar a solução de um determinado exercício matemático são dificuldades que se acentuam sempre que os enunciados são mais longos, avisam os técnicos do Ministério da Educação.

Secundário. Escrever textos explicativos em que é necessário descrever raciocínios e explicar as estratégias adoptadas para justificar as respostas é uma das grandes deficiências que os especialistas do Gave encontraram em todas as disciplinas avaliadas no secundário. A falta de rigor científico e a linguagem desadequada foram falhas detectadas por todas as equipas que monitorizaram e avaliaram o desempenho dos alunos. Sempre que foi preciso seleccionar a informação e construir um texto que traduzisse um conjunto de ideias próprias, os alunos revelaram "grandes dificuldades".

Na Matemática A do secundário, as fraquezas dos alunos tornaram-se mais evidentes quando tiveram de usar conceitos e estratégias menos treinados nas salas de aula ou então quando foram desafiados a interligar conceitos ou enfrentar enunciados longos. "Não deixam também de ser significativas as dificuldades detectadas nos problemas que envolvem maior número de cálculos e apresentação de raciocínios demonstrativos", alertam os especialistas no relatório de 2010.

Conseguir articular a informação fornecida nas provas e os conhecimentos necessários para responder a determinadas questões é igualmente uma tarefa a que poucos alunos conseguiram corresponder com êxito nos testes intermédios de Biologia e Geologia do 10.o e 11.o anos de escolaridade.

Nas disciplinas de Física e Química A, o desempenho dos alunos decresceu sempre que se exigiu uma avaliação crítica das informações contidas nas provas. Articular várias competências ou fazer cálculos que envolvam duas ou mais etapas são outras fragilidades dos alunos portugueses.