Visualização do teorema de Bayes

Existe uma forma de deduzir o Teorema de Bayes usando diagramas de Venn, como o seguinte.

Qual é a probabilidade de A ocorrer num universo U?

P(A) = #A/#U

#A é a cardinalidade do conjunto A, ou seja, o seu número de elementos.
Qual é a probabilidade de B ocorrer num universo U?

P(B) = #B/#U

E qual a probabilidade de A e B?

P(AB) = #AB/#U

Sendo assim, qual a probabilidade de A dado B? (ver figura)

P(A|B) = #AB/#B

Se divirmos ambos pela cardinalidade do universo, temos:

P(A|B) = (#AB/#U) / (#B/#U) = P(AB)/P(B)

Podemos fazer igualmente para B dado A:

P(B|A) = P(BA)/P(A)

Ora como a probabilidade de A e B é igual à probabilidade de B e A, podemos pôr a expressão matemática em função de P(AB) e P(BA), respectivamente, e usar a igualdade para chegar a uma nova fórmula:

P(AB) = P(A|B) * P(B)
P(BA) = P(B|A) * P(A)

Como P(AB) = P(BA):

P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

Colocando a expressão em função de P(A|B), chegamos à formulação usual do teorema de Bayes, que é um resultado muito interessante para o estudo das Probabilidades e Estatística:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Quem disse que é preciso decorar a fórmula? ;)

--

Referência: http://oscarbonilla.com/2009/05/visualizing-bayes-theorem/